圓形面積計算
圓形是數學中最基本也最美麗的圖形之一。了解圓的各種計算公式，在生活和工程中都非常實用。
核心公式
面積
A = π × r²
其中 r 是半徑，π ≈ 3.14159
周長（圓周）
C = 2 × π × r = π × d
其中 d 是直徑（d = 2r）
直徑
d = 2 × r
常用面積速查
| 半徑 | 直徑 | 面積 | 周長 |
|---|---|---|---|
| 1 cm | 2 cm | 3.14 cm² | 6.28 cm |
| 5 cm | 10 cm | 78.54 cm² | 31.42 cm |
| 10 cm | 20 cm | 314.16 cm² | 62.83 cm |
| 50 cm | 100 cm | 7,853.98 cm² | 314.16 cm |
| 1 m | 2 m | 3.14 m² | 6.28 m |
| 10 m | 20 m | 314.16 m² | 62.83 m |
π 的故事
歷史上的 π 值
| 時代 | 人物/文明 | π 的近似值 |
|---|---|---|
| 西元前 1650 年 | 古埃及 | 3.1605 |
| 西元前 250 年 | 阿基米德 | 3.1418（正 96 邊形） |
| 西元 5 世紀 | 祖沖之 | 3.1415926（精確到第 7 位） |
| 1706 年 | John Machin | 100 位數 |
| 2024 年 | 電腦 | 105 兆位數 |
中國數學家祖沖之在西元 480 年算出 π 介於 3.1415926 和 3.1415927 之間，領先世界近千年。
日常近似值
- 粗略計算：π ≈ 3.14
- 工程計算：π ≈ 3.1416
- 口訣記法：3.14159265（山巔一寺一壺酒，爾樂苦煞吾）
生活中的圓形計算
披薩的數學
買大或買小，哪個划算？
| 尺寸 | 直徑 | 面積 | 假設價格 | 每 cm² 價格 |
|---|---|---|---|---|
| 9 吋 | 22.86 cm | 410.4 cm² | TWD 250 | TWD 0.61 |
| 12 吋 | 30.48 cm | 729.7 cm² | TWD 400 | TWD 0.55 |
| 15 吋 | 38.10 cm | 1,140.1 cm² | TWD 550 | TWD 0.48 |
結論：大披薩通常更划算，因為面積成長是半徑的平方。
圓形花園
想在院子裡做一個半徑 3 公尺的圓形花壇：
- 面積 = π × 3² = 28.27 m²（約 8.55 坪）
- 圍邊長度 = 2π × 3 = 18.85 公尺
圓形水池
半徑 2 公尺、深度 1 公尺的圓形水池：
- 底面積 = π × 2² = 12.57 m²
- 水量 = 12.57 × 1 = 12.57 m³ = 12,570 公升
從圓到球
圓是二維的，擴展到三維就是球：
| 幾何體 | 面積/體積公式 |
|---|---|
| 圓面積 | π × r² |
| 球表面積 | 4π × r² |
| 球體積 | 4/3 × π × r³ |
球的表面積恰好是同半徑圓面積的 4 倍，這是一個優美的數學關係。
本計算機使用 JavaScript 內建的 Math.PI（精確到 15-17 位有效數字）進行計算。日常使用已足夠精確。