三角形面積計算
三角形是最基本的多邊形，也是幾何學中最重要的圖形之一。本計算機提供兩種計算面積的方式，適用於不同的已知條件。
兩種計算模式
模式一：底邊 x 高
這是最基本的三角形面積公式：
面積 = 底邊 x 高 / 2
使用條件：已知底邊長度和對應的高度。這裡的「高」是指從底邊的對角頂點向底邊作垂直線的長度。
模式二：海倫公式（三邊已知）
當你知道三條邊的長度，但不知道高度時，可以使用海倫公式（Heron’s Formula）：
- 先算半周長：s = (a + b + c) / 2
- 再算面積：A = sqrt(s x (s-a) x (s-b) x (s-c))
只要在計算機中將三邊（邊a、邊b、邊c）都填入大於 0 的值，就會自動切換到海倫公式模式。
海倫公式的推導
海倫公式以亞歷山卓的海倫（Hero of Alexandria）命名，他在西元一世紀提出了這個優雅的公式。實際上，阿基米德可能更早就知道這個公式了。
計算範例
三邊為 3、4、5 的三角形：
- s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
- A = sqrt(6 x 3 x 2 x 1) = sqrt(36) = 6
這恰好是最經典的直角三角形（3-4-5 畢氏三元組），面積等於 3 x 4 / 2 = 6，驗證了海倫公式的正確性。
更多範例
| 三邊 | 半周長 | 面積 | 三角形類型 |
|---|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6 | 6 | 直角三角形 |
| 5, 5, 5 | 7.5 | 10.83 | 等邊三角形 |
| 5, 12, 13 | 15 | 30 | 直角三角形 |
| 7, 8, 9 | 12 | 26.83 | 銳角三角形 |
三角不等式
三條線段要能構成三角形，必須滿足三角不等式：
- a + b 必須大於 c
- a + c 必須大於 b
- b + c 必須大於 a
簡單記法：任意兩邊之和必須大於第三邊。如果恰好等於，則退化為一條直線段，不構成三角形。
本計算機在使用海倫公式時會自動檢查三角不等式，若不成立會提示錯誤。
常見的直角三角形
直角三角形在實際應用中最為常見，以下是常見的畢氏三元數（Pythagorean Triple）：
| 三邊 | 驗證 a² + b² = c² |
|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8, 15, 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7, 24, 25 | 49 + 576 = 625 |
任何畢氏三元數乘以同一個正整數，仍然是畢氏三元數。例如 3-4-5 乘以 2 得到 6-8-10。
特殊角度的三角形
- 30-60-90 三角形：邊長比 1 : sqrt(3) : 2
- 45-45-90 三角形：邊長比 1 : 1 : sqrt(2)
- 等邊三角形：三邊相等，三角各 60 度，面積 = sqrt(3)/4 x a²
實際應用場景
土地測量
已知一塊三角形土地的三邊長度，用海倫公式即可計算面積，不需要實際測量高度。這在地形複雜、難以直接測量高度的情況下特別有用。
建築與工程
三角形是最穩定的結構，廣泛用於屋頂桁架、橋梁設計和塔架結構。計算面積有助於估算材料用量。
導航與定位
三角測量法（Triangulation）利用已知基線和測量角度來計算距離，是 GPS 發明前的主要定位方法，至今仍用於測繪學。
美術與設計
三角形構圖是攝影和繪畫中常用的構圖方式，能產生穩定、和諧的視覺效果。了解三角形的幾何性質有助於更精確地進行設計。
本計算機支援小數輸入。使用海倫公式時會自動檢查三角不等式。若只填底邊與高，則使用基本公式計算。