一元二次方程式
一元二次方程式是代數學中最重要的方程式之一，形式為 ax² + bx + c = 0（其中 a 不等於 0）。
求根公式
公式推導
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
這個公式可以透過「配方法」推導而來：
- ax² + bx + c = 0
- x² + (b/a)x = -c/a
- x² + (b/a)x + (b/2a)² = (b/2a)² - c/a
- (x + b/2a)² = (b² - 4ac) / 4a²
- x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
判別式的三種情況
判別式 D = b² - 4ac 決定了方程式的根：
D > 0：兩個相異實根
拋物線與 x 軸有兩個交點。
例：x² - 5x + 6 = 0
- D = 25 - 24 = 1 > 0
- x₁ = (5+1)/2 = 3
- x₂ = (5-1)/2 = 2
D = 0：一個重根
拋物線與 x 軸恰好相切。
例：x² - 6x + 9 = 0
- D = 36 - 36 = 0
- x = 6/2 = 3（重根）
D < 0：兩個共軛複數根
拋物線不與 x 軸相交。
例：x² + x + 1 = 0
- D = 1 - 4 = -3 < 0
- x = (-1 ± √3 i) / 2
韋達定理
法國數學家韋達發現了根與係數的優美關係：
| 關係 | 公式 |
|---|---|
| 兩根之和 | x₁ + x₂ = -b/a |
| 兩根之積 | x₁ × x₂ = c/a |
快速驗算
解完方程式後，用韋達定理驗算：
- x² - 5x + 6 = 0 的根是 2 和 3
- 和：2 + 3 = 5 = -(-5)/1
- 積：2 × 3 = 6 = 6/1
拋物線的圖形特性
y = ax² + bx + c 畫出的圖形是拋物線：
開口方向
- a > 0：開口向上（U 形），頂點是最低點
- a < 0：開口向下（倒 U 形），頂點是最高點
頂點座標
- x 座標：-b/(2a)
- y 座標：c - b²/(4a)
對稱軸
拋物線以 x = -b/(2a) 為對稱軸，左右完全對稱。
經典解題技巧
因式分解法
如果方程式可以分解為 (x-p)(x-q) = 0 的形式，直接得到 x = p 或 x = q。
例：x² - 7x + 12 = 0 → (x-3)(x-4) = 0 → x = 3 或 x = 4
配方法
適合求頂點和化簡：
x² + 6x + 5 = (x+3)² - 4 = 0 → x = -3 ± 2 → x = -1 或 x = -5
十字交乘法
台灣國高中常教的快速因式分解技巧，適合 a ≠ 1 的情況。
實際應用
拋體運動
棒球打出後的高度：h(t) = -4.9t² + v₀t + h₀
- 最高點時間 = v₀/(2×4.9)
- 最大高度 = 代入頂點公式
- 落地時間 = 解 h(t) = 0
最佳化問題
農夫有 100 公尺的圍籬，要圍出最大的長方形面積：
- 設長 = x，則寬 = (100-2x)/2 = 50-x
- 面積 A = x(50-x) = -x² + 50x
- 頂點 x = 25，A = 625 m²（正方形最大）
本計算機處理 a=0 的退化情況（一次方程式），並支援複數根的計算。滑桿範圍為 -100 到 100，涵蓋大部分教學和實用場景。