排列與組合
排列組合是數學中計算「可能性數量」的基礎工具，在機率、統計、密碼學和日常生活中廣泛應用。
核心差異只有一個：順序重不重要？
- 排列（Permutation）：順序有差 → 「A 後 B」和「B 後 A」算兩種
- 組合（Combination）：順序無差 → 「A 和 B」跟「B 和 A」算同一種
公式推導
排列 P(n, r)
從 n 個元素中選 r 個並排列：
P(n, r) = n! / (n-r)!
推導思路：第 1 個位置有 n 種選擇，第 2 個有 n-1 種，…，第 r 個有 n-r+1 種。
P(n, r) = n x (n-1) x (n-2) x … x (n-r+1)
組合 C(n, r)
從 n 個元素中選 r 個（不排列）：
C(n, r) = n! / (r! x (n-r)!) = P(n, r) / r!
因為每 r 個元素的排列有 r! 種排法，但組合只算一種。
常見計算範例
樂透彩機率
台灣大樂透從 49 個號碼選 6 個，中頭獎的可能數：
C(49, 6) = 13,983,816 種
每注中獎機率 = 1/13,983,816 ≈ 0.00000715%
密碼排列
4 位數字密碼（0-9，不重複）的排列數：
P(10, 4) = 10 x 9 x 8 x 7 = 5,040 種
若允許重複，則為 10^4 = 10,000 種。
抽樣調查
從 30 人班級中選 5 人代表（順序無關）：
C(30, 5) = 142,506 種
排列組合的重要性質
組合的對稱性
C(n, r) = C(n, n-r)
從 10 人選 3 人出列 = 從 10 人選 7 人留下，結果相同。
巴斯卡三角形
組合數構成巴斯卡三角形（楊輝三角），每個數等於上方兩數之和：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1第 n 行第 r 個數就是 C(n, r)。
二項式定理
(a + b)^n 展開後，各項係數就是組合數 C(n, k)：
(a + b)^3 = C(3,0)a³ + C(3,1)a²b + C(3,2)ab² + C(3,3)b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
生活中的排列組合
| 情境 | 類型 | 計算 |
|---|---|---|
| 選班長和副班長 | 排列 | P(n, 2) |
| 選 3 人委員會 | 組合 | C(n, 3) |
| 座位安排 | 排列 | P(n, n) = n! |
| 分組方式 | 組合 | C(n, k) |
| 密碼排列 | 排列（可重複） | n^r |
注意事項
- 當 r > n 時，排列和組合的結果都是 0（無法從少於 r 個元素中選出 r 個）
- 階乘增長極快，n > 20 時結果可能超出精確計算範圍
- 本計算機不處理「允許重複」的排列組合（重複排列 = n^r，重複組合 = C(n+r-1, r)）
排列組合是機率論的基石，掌握它就掌握了計算「可能性」的基本工具。