分數的四則運算
分數是數學的基礎概念，表示「部分與整體」的關係。掌握分數的加減乘除是數學學習的重要里程碑。
加法與減法
分數加減法的關鍵是通分——找到共同的分母。
步驟
- 找到兩個分母的最小公倍數（LCM）作為公分母
- 將各分數的分子和分母同時乘以相應的倍數
- 分子做加減運算，分母不變
- 結果約分為最簡分數
範例：2/3 + 3/4
- LCM(3, 4) = 12
- 2/3 = 8/12，3/4 = 9/12
- 8/12 + 9/12 = 17/12
- 17/12 = 1 又 5/12（已是最簡）
乘法
分數乘法最簡單：分子乘分子、分母乘分母。
a/b x c/d = (a x c) / (b x d)
範例：2/3 x 3/5
2/3 x 3/5 = 6/15 = 2/5（約分：6 和 15 的 GCD 是 3）
技巧：可以在乘之前先交叉約分，減少計算量。2/3 x 3/5 中，第一個分母 3 和第二個分子 3 可以先約掉。
除法
分數除法的口訣：除以一個分數等於乘以它的倒數。
a/b / c/d = a/b x d/c = (a x d) / (b x c)
範例：3/4 / 2/5
3/4 / 2/5 = 3/4 x 5/2 = 15/8 = 1 又 7/8
約分的方法
約分就是找到分子和分母的最大公因數（GCD），然後同除。
| 步驟 | 說明 |
|---|---|
| 1. 分解質因數 | 將分子和分母分別做質因數分解 |
| 2. 找公因數 | 取共同的質因數 |
| 3. 除以 GCD | 分子分母同除以最大公因數 |
範例：48/60
- 48 = 2⁴ x 3
- 60 = 2² x 3 x 5
- GCD = 2² x 3 = 12
- 48/60 = 4/5
分數與小數的互換
| 分數 | 小數 | 百分比 |
|---|---|---|
| 1/2 | 0.5 | 50% |
| 1/3 | 0.333… | 33.3% |
| 1/4 | 0.25 | 25% |
| 2/3 | 0.666… | 66.7% |
| 3/4 | 0.75 | 75% |
| 1/5 | 0.2 | 20% |
| 3/8 | 0.375 | 37.5% |
分數在生活中的應用
- 食譜：2/3 杯麵粉、1/4 茶匙鹽
- 折扣：打七折 = 原價的 7/10
- 音樂：四分音符、八分音符的時值比
- 建築：3/4 英吋螺絲、7/8 英吋板手
- 股市：美股過去以 1/8 或 1/16 元為最小報價單位
特殊分數
單位分數
分子為 1 的分數稱為單位分數（如 1/2、1/3、1/4）。古埃及數學只使用單位分數來表示所有分數。
連分數
分數可以表示為連分數形式，例如 355/113 ≈ π，是圓周率最著名的分數近似值。
注意事項
- 分母不能為 0（除以 0 無意義）
- 減法結果可能為負數，會以負號表示
- 計算過程中的中間值可能較大，超大數字的精度有限
- 本計算機輸入限制分子和分母在 1-999 之間
分數運算是數學基礎中的基礎，熟練掌握後對代數、比例和日常計算都大有幫助。