對數是什麼？
對數（Logarithm）是指數的反運算。如果我們知道：
b^x = y
那麼：
log_b(y) = x
其中 b 是底數，y 是真數，x 是對數值。對數回答的問題是：「底數 b 要自乘幾次才能得到 y？」
範例
- log₁₀(1000) = 3，因為 10³ = 1000
- log₂(256) = 8，因為 2⁸ = 256
- ln(e²) = 2，因為 e² = e²
三種常用對數
| 名稱 | 記法 | 底數 | 主要用途 |
|---|---|---|---|
| 常用對數 | log 或 log₁₀ | 10 | 日常計算、工程、地震規模 |
| 自然對數 | ln 或 logₑ | e ≈ 2.718 | 微積分、物理、金融 |
| 二進位對數 | log₂ | 2 | 電腦科學、資訊理論 |
對數的基本性質
| 性質 | 公式 | 範例 |
|---|---|---|
| 乘法變加法 | log(ab) = log(a) + log(b) | log(20) = log(4) + log(5) |
| 除法變減法 | log(a/b) = log(a) - log(b) | log(5) = log(10) - log(2) |
| 指數變乘法 | log(a^n) = n × log(a) | log(1000) = 3 × log(10) |
| 底數為真數 | log_b(b) = 1 | log₁₀(10) = 1 |
| 真數為 1 | log_b(1) = 0 | ln(1) = 0 |
換底公式
任意底數之間的轉換：
log_a(x) = log_b(x) / log_b(a) = ln(x) / ln(a)
這個公式極為實用，因為科學計算機通常只有 log（log₁₀）和 ln 兩個按鍵。
對數在日常生活中的應用
地震規模
芮氏地震規模（Richter scale）使用 log₁₀，每增加 1 級：
- 震幅增大 10 倍
- 釋放能量增大約 31.6 倍
規模 5.0 和 7.0 的地震，能量差距 = 31.6² ≈ 1000 倍。
聲音分貝
分貝（dB）= 10 × log₁₀(P/P₀)
| 聲音 | 分貝 |
|---|---|
| 安靜的圖書館 | 30 dB |
| 正常對話 | 60 dB |
| 摩托車引擎 | 90 dB |
| 搖滾演唱會 | 120 dB |
每增加 10 dB，聲音強度增大 10 倍。
pH 值
pH = -log₁₀[H⁺]，衡量溶液的酸鹼度：
| pH | 性質 | 範例 |
|---|---|---|
| 1-3 | 強酸 | 胃酸(pH 1.5) |
| 4-6 | 弱酸 | 咖啡(pH 5) |
| 7 | 中性 | 純水 |
| 8-10 | 弱鹼 | 小蘇打水(pH 8.5) |
| 11-14 | 強鹼 | 漂白水(pH 12) |
電腦科學
log₂ 在演算法分析中至關重要：
- 二元搜尋：在 100 萬筆資料中找到目標，最多只需 log₂(1,000,000) ≈ 20 次比較
- 排序演算法：快速排序的平均時間複雜度為 O(n log₂ n)
- 資訊量：1 bit 的資訊量等於 log₂(2) = 1
特殊的對數值
| 真數 | ln | log₁₀ | log₂ |
|---|---|---|---|
| 0.5 | -0.6931 | -0.3010 | -1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0.6931 | 0.3010 | 1 |
| e (2.718) | 1 | 0.4343 | 1.4427 |
| 10 | 2.3026 | 1 | 3.3219 |
| 100 | 4.6052 | 2 | 6.6439 |
注意事項
- 對數的真數必須大於 0（不能對 0 或負數取對數）
- 對數的底數必須大於 0 且不等於 1
- 當真數介於 0 和 1 之間時，對數值為負
- 浮點數計算可能存在微小誤差，最後幾位數字供參考
對數將乘法變成加法、將指數變成乘法，這個「降維」特性使其成為科學和工程計算中不可或缺的工具。