階乘定義
n 的階乘（n!）定義為：
n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1
特殊值：0! = 1（數學約定）
常見階乘值
| n | n! | 近似科學記號 |
|---|---|---|
| 0 | 1 | - |
| 1 | 1 | - |
| 2 | 2 | - |
| 3 | 6 | - |
| 4 | 24 | - |
| 5 | 120 | - |
| 10 | 3,628,800 | 3.6 × 10⁶ |
| 15 | 1,307,674,368,000 | 1.3 × 10¹² |
| 20 | 2,432,902,008,176,640,000 | 2.4 × 10¹⁸ |
排列與組合公式
排列數 P(n, r)
從 n 件物品中，取出 r 件並考慮順序：
P(n, r) = n! / (n - r)!
範例：10 位跑者，求前 3 名的排列方式數：P(10, 3) = 10! / 7! = 720 種
組合數 C(n, r)
從 n 件物品中，取出 r 件不考慮順序：
C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)
範例：10 人中選出 3 人組隊：C(10, 3) = 10! / (3! × 7!) = 120 種
彩券中獎機率
| 彩種 | 規則 | 機率公式 | 頭獎機率 |
|---|---|---|---|
| 大樂透 | 49 選 6 | 1/C(49,6) | 約 1/1,398 萬 |
| 威力彩 | 38 選 6 + 8 選 1 | 1/(C(38,6)×8) | 約 1/2,209 萬 |
| 雙贏彩 | 不同區各選 | 依規則 | 約 1/1,000 萬 |
應用場景
密碼學
AES 128 位元金鑰的可能組合數 = 2^128 ≈ 3.4 × 10^38，遠大於 170!（≈ 7.2 × 10^306 超出計算範圍）。暴力破解在當前算力需要宇宙年齡的多倍時間。
棋盤遊戲
西洋棋第一步各有 20 種可能走法，兩方各走一步後有 400 種局面，10 步後超過 10^29 種可能棋局。這是為什麼即使是 AI 也難以做到完美棋力。
本計算機支援 n 最大到 20（n = 20! ≈ 2.4 × 10^18）。超過 170 時結果超出 JavaScript 浮點數精度（Infinity）。