平均值的種類
「平均」不只有一種。根據不同的計算方式和應用場景，常見的平均值有：
算術平均（Arithmetic Mean）
最常見的平均值，公式為：
算術平均 = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n
適用場景：考試成績、日常支出、溫度紀錄等等量相加的數據。
中位數（Median）
將數據從小到大排列後，取中間位置的值：
- 奇數個數據：取正中間的值
- 偶數個數據：取中間兩個值的平均
適用場景：薪資、房價等有極端值的數據。
眾數（Mode）
出現次數最多的值。一組數據可以：
- 沒有眾數（所有值出現次數相同）
- 有一個眾數（單峰分布）
- 有多個眾數（多峰分布）
適用場景：最受歡迎的產品規格、最常見的答案。
幾何平均（Geometric Mean）
幾何平均 = (x₁ x x₂ x … x xₙ)^(1/n)
適用場景：平均成長率、投資報酬率。例如三年的投資報酬率分別為 +10%、-5%、+20%，幾何平均 = (1.1 x 0.95 x 1.2)^(1/3) - 1 = 7.89%。
調和平均（Harmonic Mean）
調和平均 = n / (1/x₁ + 1/x₂ + … + 1/xₙ)
適用場景：平均速率。例如去程時速 60km，回程時速 40km，平均速率 = 2 / (1/60 + 1/40) = 48 km/h（不是 50！）。
三種平均值的比較
以數值 2, 4, 8 為例：
| 平均類型 | 計算 | 結果 |
|---|---|---|
| 算術平均 | (2+4+8)/3 | 4.67 |
| 幾何平均 | (2×4×8)^(1/3) | 4.00 |
| 調和平均 | 3/(1/2+1/4+1/8) | 3.43 |
永遠有：調和平均 ≤ 幾何平均 ≤ 算術平均
離散度指標
全距（Range）
全距 = 最大值 - 最小值
最簡單的離散度指標，但容易受極端值影響。
變異數（Variance）
變異數 = Σ(xᵢ - 平均)² / n
各數據點與平均值之差的平方的平均。
標準差（Standard Deviation）
標準差 = √變異數
和原始數據使用相同的單位，更直觀。
標準差的意義（常態分布）
| 範圍 | 涵蓋百分比 |
|---|---|
| 平均 ± 1 個標準差 | 約 68.3% |
| 平均 ± 2 個標準差 | 約 95.4% |
| 平均 ± 3 個標準差 | 約 99.7% |
生活中的平均值應用
台灣薪資
2024 年台灣的經常性薪資：
- 平均薪資：約 TWD 45,000/月
- 中位數薪資：約 TWD 35,000/月
平均值被少數高薪者拉高，中位數更能反映多數人的真實情況。
考試成績
老師常說「班平均 75 分」，但如果有幾個同學零分，平均會被拉低。這時中位數（例如 80 分）可能更能代表班上的「普遍水準」。
投資報酬
用算術平均算投資報酬會高估績效。一筆投資第一年漲 50%、第二年跌 50%：
- 算術平均：(50% + -50%)/2 = 0%
- 實際結果：100 → 150 → 75，虧損 25%
- 幾何平均：(1.5 × 0.5)^(1/2) - 1 = -13.4%
注意事項
- 本計算機支援 2 到 5 個數值的計算
- 幾何平均要求所有數值為正數（含零時不適用）
- 調和平均要求所有數值為正數且不為零
- 較大的數據集建議使用專業統計軟體
選擇正確的「平均值」類型是數據分析的第一步。沒有最好的平均值，只有最適合特定情境的平均值。